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同济大学高等数学第七版答案

[] [] [] 发布人:凿光学习网   发布日期:2020-03-06 21:23   共 41 人浏览过

同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解

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同济大学数学系《高等数学》(第7版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解

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第一章 函数与极限

1.1 复习笔记

一、映射与函数

1映射

(1)映射概念

设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则,使得对X中每个元素x,按法则,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称为从X到Y的映射,记作,其中y称为元素x(在映射下)的像,并记作,即,而元素x称为元素y(在映射下)的一个原像;集合X称为映射的定义域,记作,即;X中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域,记作,即

(2)映射三要素

包括:①定义域;②值域;③对应法则

(3)映射的特点

对每个x∈X,元素x的像y是唯一的;而对每个,元素y的原像不一定是唯一的.

(4)满射

设f是从集合X到集合Y的映射,若,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的满射.

(5)单射

若对X中任意两个不同元素,它们的像,则称为X到Y的单射.

(6)一一映射(双射)

f既是单射,又是满射,则称为一一映射(或双射).

(7)逆映射与复合映射

①逆映射

是X到Y的单射,则由定义,对每个,有唯一的x∈X,适合.则可定义一个从到X的新映射g,即,对每个,规定,则x满足.这个映射g称为f的逆映射,记作,其定义域,值域说明: HWOCRTEMP_ROC9280

注:只有单射才存在逆映射.

②复合映射

设有两个映射,其中说明: HWOCRTEMP_ROC9350,则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个x∈X映成f[g(x)]∈Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作,即

③复合映射的条件

在两个映射组成的复合映射中,g的值域Rg必须包含在f的定义域内,即

2.函数

(1)函数的概念

①函数的定义

设数集DR,则称映射:D→R为定义在D上的函数,简记为,其中x称为自变量,y称为因变量.D称为定义域,记作,即

②函数值域

函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域,记作,即

③相同函数所具备的的特点

a.定义域相同;

b.对应法则也相同.

④函数的表示方法

表格法、图形法、解析法(公式法).

(2)函数的性质

①有界性

a.上界:若存在K1,对任意,则称函数在I上有上界,而K1称为函数在I上的一个上界.

b.下界:若存在K2,对任意,则称函数在I上有下界,而K2称为函数在I上的一个下界.

c.有界:若对任意,存在M>0,总有,则称在I上有界.

②单调性

a.单调递增 当时,

b.单调递减 当时,

③周期性

a.定义 (T为正数).

b.最小正周期 函数所有周期中最小的周期称为最小正周期.

④奇偶性

f(x)的定义域关于原点对称,则:

a.偶函数 f(-x)=f(x),图形关于y轴对称.

b.奇函数 f(-x)=-f(x),图形关于原点对称.

(3)反函数与复合函数

①反函数的定义

设函数f:D→f(D)是单射,则它存在逆映射f-1:f(D)→D,称此映射f-1为函数f的反函数.

②反函数的特点

a.当f在D上是单调递增函数,f-1在f(D)上也是单调递增函数;

b.当f在D上是单调递减函数,f-1在f(D)上也是单调递减函数;

c.f的图像和f-1的图像关于直线y=x对称,如图1-1-1所示.

 

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第八章 向量代数与空间解析几何

8.1 复习笔记

一、向量及其线性运算

1.向量的概念

(1)向量的定义

既有大小,又有方向的这一类量称为向量(或矢量).

(2)向量的表示

①用有向线段表示向量;

②用黑体字母来表示向量.

(3)自由向量

只考虑向量的大小和方向,不考虑起点的向量称为自由向量.

(4)相等向量

大小相等且方向相同的向量.

(5)向量的模

向量的大小称为向量的模.

(6)单位向量

模等于1的向量称为单位向量.

(7)零向量

模等于零的向量称为零向量,记作0或

(8)向量a与b的夹角

设两个非零向量a,b,任取空间一点O,作.规定不超过π的∠AOB(设

称为向量a与b的夹角(图8-1-1).记作,即

注:如果向量a与b中有一个是零向量,规定它们的夹角可以在0到π之间任意取值.

图8-1-1

(9)向量平行

如果或π,称向量a与b平行,记作

(10)向量垂直

如果,称向量a与b垂直,记作a⊥b.

(11)向量共线

两向量平行,又称两向量共线.

(12)向量共面

设有k(k≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,称这k个向量共面.

2.向量的线性运算

(1)向量的加法

①定义

设有两个向量a与b,任取一点A,作,再以B为起点,作,连接AC(图8-1-2),则

向量称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b.

图8-1-2

②运算规律

a.交换律a+b=b+a;

b.结合律(a+b)+c=a+(b+c).

(2)向量的减法(差)

①负向量

a为一向量,与a的模相同而方向相反的向量称为a的负向量,记作-a.

②向量的差

向量b与a的差,即把向量-a加到向量b上,便得b与a的差b-a.

③向量加法和减法的不等式

(3)向量与数的乘法

①定义

向量a与实数λ的乘积记作λa.

②乘积的模

③乘积的运算规律

a.结合律

b.分配律

(4)两向量平行的充要条件


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