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华东师范数学分析第4版笔记和课后答案

[] [] [] 发布人:凿光学习网   发布日期:2020-02-26 22:12   共 161 人浏览过

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)笔记和课后习题(含考研真题)详解

在线阅读:http://zgw.100xuexi.com/Ebook/56949.html



华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)笔记和课后习题(含考研真题)详解

在线阅读:http://zgw.100xuexi.com/Ebook/57017.html

第1章 实数集与函数
 1.1 复习笔记
 1.2 课后习题详解
 1.3 名校考研真题详解
第2章 数列极限
 2.1 复习笔记
 2.2 课后习题详解
 2.3 名校考研真题详解
第3章 函数极限
 3.1 复习笔记
 3.2 课后习题详解
 3.3 名校考研真题详解
第4章 函数的连续性
 4.1 复习笔记
 4.2 课后习题详解
 4.3 名校考研真题详解
第5章 导数和微分
 5.1 复习笔记
 5.2 课后习题详解
 5.3 名校考研真题详解
第6章 微分中值定理及其应用
 6.1 复习笔记
 6.2 课后习题详解
 6.3 名校考研真题详解
第7章 实数的完备性
 7.1 复习笔记
 7.2 课后习题详解
 7.3 名校考研真题详解
第8章 不定积分
 8.1 复习笔记
 8.2 课后习题详解
 8.3 名校考研真题详解
第9章 定积分
 9.1 复习笔记
 9.2 课后习题详解
 9.3 名校考研真题详解
第10章 定积分的应用
 10.1 复习笔记
 10.2 课后习题详解
 10.3 名校考研真题详解
第11章 反常积分
 11.1 复习笔记
 11.2 课后习题详解
 11.3 名校考研真题详解

内容简介
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本书是华东师范大学数学系编写的《数学分析》(第4版)的学习辅导书,主要包括以下内容:

(1)梳理知识脉络,浓缩学科精华。本书每章的复习笔记均对该章的重难点进行了整理,并参考了国内名校名师讲授该教材的课堂笔记。因此,本书的内容几乎浓缩了该教材的知识精华。

(2)详解课后习题,巩固重点难点。本书参考大量相关辅导资料,对华东师范大学数学系编写的《数学分析》(第4版)的课后思考题进行了详细的分析和解答,并对相关重要知识点进行了延伸和归纳。

(3)精选考研真题,培养解题思路。本书精选详析了部分名校近年来的相关考研真题,这些高校均以该教材作为考研参考书目。所选考研真题基本涵盖了每章的考点和难点,考生可以据此了解考研真题的命题风格和难易程度,并检验自己的复习效果。


试读(部分内容)
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第1章 实数集与函数

1.1 复习笔记

一、实数

1.相关定义

(1)给定两个非负实数

HWOCRTEMP_ROC20

其中a0,b0为非负整数,ak,bk(k=1,2…)为整数,0≤ak≤9,0≤bk≤9.若有

HWOCRTEMP_ROC30

则称x与y相等,记为x=y;若a0>b0或存在非负整数l,使得

HWOCRTEMP_ROC40

则称x大于y或y小于x.分别记为x>y或y<x.

对于负实数x,y,若按上述规定分别有-x=-y与-x>-y,则分别称x=y与x<y(或y>x).另外,自然规定任何非负实数大于任何负实数.

(2)设HWOCRTEMP_ROC50为非负实数,称有理数HWOCRTEMP_ROC60为实数x的n位不足近似,而有理数HWOCRTEMP_ROC70称为x的n位过剩近似,n=0,1,2,….

对于负实数

HWOCRTEMP_ROC80

其n位不足近似与过剩近似分别规定为

HWOCRTEMP_ROC90

2.重要定理

HWOCRTEMP_ROC120

HWOCRTEMP_ROC130

为两个实数,则x>y的等价条件是:存在非负整数n,使得HWOCRTEMP_ROC140,其中xn表示x的n位不足近似,HWOCRTEMP_ROC150表示y的n位过剩近似.

3.实数性质

(1)实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数.

(2)实数集是有序的,即任意两实数a,b必满足下述三个关系之一:a<b,a=b,a>b.

(3)实数的大小关系具有传递性,即若a>b,b>c,则有a>c.

(4)实数具有阿基米德(Archimedes)性,即对任何a,b∈R,若b>a>0,则存在正整数n,使得na>b.

(5)实数集R具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数.且既有有理数,也有无理数.

(6)如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O作为原点,指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向),并规定一个单位长度,则称此直线为数轴.任一实数都对应数轴上惟一的一点;反之,数轴上的每一点都惟一地代表一个实数.于是,实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.

4.实数绝对值的性质

(1)|a|=|-a|≥0;当且仅当a=0时有|a|=0.

(2)-|a|≤a≤|a|.

(3)|a|<h⇔-h<a<h;|a|≤h⇔-h≤a≤h(h>0).

(4)对于任何a,b∈R有如下的三角形不等式:

(5)HWOCRTEMP_ROC200

(6)HWOCRTEMP_ROC210

(7)HWOCRTEMP_ROC220

二、数集·确界原理

1.区间与邻域

(1)区间:设a,b∈R,且a<b.称数集﹛x|a<x<b﹜为开区间,记作(a,b);数集{x|a≤x≤b﹜称为闭区间,记作[a,b];数集﹛x|a≤x<b}和{x|a<x≤b﹜都为半开半闭区间,分别记作[a,b)和(a,b],以上这几类区间统称为有限区间.

满足关系式x≥a的全体实数x的集合记作[a.+∞).符号∞读作“无穷大”,+∞读作“正无穷大”.记

HWOCRTEMP_ROC390

其中﹣∞读作“负无穷大”.以上这几类数集都称为无限区间.有限区间和无限区间统称为区间.

(2)邻域:设a∈R,δ>0,满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域,记作U(a,δ),或简单地写作U(a).即有

HWOCRTEMP_ROC400

点a的空心δ邻域定义为

HWOCRTEMP_ROC410

(3)常用几种邻域

①点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a,a+δ),简记为U+(a);点a的δ左邻域U—(a;δ)=(a-δ,a],简记为U—(a).

②U—(a)与U+(a)去除点a后,分别为点a的空心δ左、右邻域,简记为U0—(a)与U0+(a).

③∞邻域U(∞)=﹛x︱|x|>M},其中M为充分大的正数(下同);+∞邻域U(+∞)=﹛x|x>M﹜;-∞邻域U(-∞)={x|x<M﹜.

2.有界集·确界原理

(1)相关概念

①设S是R中的一个数集.若存在数M(L),使得对一切x∈S,都有x≤M(x≥L),则称S为有上界(下界)的数集,数M(L)称为S的个上界(下界).

若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是有界集,则称S为无界集.

②设S是R中的一个数集.若数η满足:

a.对一切x∈S,有x≤η,即η是S的上界;

b.对任何α<η,存在x0∈S,使得x0>α,即又是S的最小上界.

则称数η为数集S的上确界,记作

HWOCRTEMP_ROC190

③设S是R中的一个数集.若数ξ满足:

a.对一切x∈S,有x≥ξ,即ξ是S的下界;

b.对任何β>ξ,存在x0∈S,使得x0<β,即ξ又是S的最大下界.则称数ξ为数集S的下确界,记作

HWOCRTEMP_ROC200

④上确界与下确界统称为确界.

(2)重要定理

①确界原理:设S为非空数集.若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界.

②推广的确界原理:任一非空数集必有上、下确界.

三、函数概念

1.函数的定义

给定两个实数集D和M,若有对应法则f,使对D内每一个数x,都有惟一的一个数y∈M与它相对应,则称f是定义在数集D上的函数,记作

HWOCRTEMP_ROC630  (1-1)

数集D称为函数f的定义域,x所对应的数y称为f在点x的函数值,常记为f(x).

2.函数的表示法

主要有三种,即解析法(或称公式法)、列表法和图像法.

3.函数的四则运算

给定两个函数HWOCRTEMP_ROC120HWOCRTEMP_ROC130HWOCRTEMP_ROC140,并设HWOCRTEMP_ROC150,定义f与g在D上的和、差、积运算如下:

HWOCRTEMP_ROC00

若在D中剔除使g(x)=0的x值,即令

HWOCRTEMP_ROC10

可在D*上定义f与g的商的运算如下:

HWOCRTEMP_ROC20

注  若D=D1∩D2=∅,则f与g不能进行四则运算.以后为叙述方便,函数f与g的和、差、积、商常分别写作

HWOCRTEMP_ROC50

4.复合函数

设有两函数

HWOCRTEMP_ROC60    (1-2)

记E*={x|g(x)∈D}∩E.若E*≠∅,则对每一个x∈E*,可通过函数g对应D内惟一的一个值u,而u又通过函数f对应惟一的一个值y,这就确定了一个定义在E*上的函数,它以x为自变量,y为因变量,记作

HWOCRTEMP_ROC70

称为函数f和g的复合函数,并称f为外函数,g为内函数,(2)式中的u为中间变量.函数f和g的复合运算也可简单地写作

5.反函数

设函数

HWOCRTEMP_ROC130    (1-3)

满足:对于值域f(D)中的每一个值y,D中有且只有一个值x,使得f(x)=y.

则按此对应法则得到的函数称为反函数,它是一个定义在f(D)上的函数,记作

HWOCRTEMP_ROC140

HWOCRTEMP_ROC150   (1-4)

6.初等函数

(1)常量函数y=c(c是常数);

(2)幂函数y=xα(α为实数);

(3)指数函数y=ax(a>0,a≠1);

(4)对数函数y=logax(a>0,a≠1);

(5)三角函数y=sin x(正弦函数),y=cos x(余弦函数),y=tan x(正切函数),y=cot x(余切函数);

(6)反三角函数y=arcsin x,(反正弦函数),y=arccos x(反余弦函数),y=arctan x(反正切函数),y=arccot x(反余切函数).

四、具有某些特性的函数

1.有界函数

(1)设f为定义在D上的函数,若存在数M(L),使得对每一个x∈D有

HWOCRTEMP_ROC340

则称f为D上的有上(下)界函数.M(L)称为f在D上的一个上(下)界.

(2)设f为定义在D上的函数,若存在正数M,使得对每一个x∈D有

HWOCRTEMP_ROC350  (1-5)

则称f为D上的有界函数.

2.单调函数

(1)设f为定义在D上的函数,若对任何x1,x2∈D.当x1<x2时,总有:

①f(x1)≤f(x2),则称f为D上的增函数.特别当成立严格不等式f(x1)<f(x2)时,称f为D上的严格增函数;

②f(x1)≥f(x2),则称f为D上的减函数.特别当成立严格不等式f(x1)>f(x2)时,称f为D上的严格减函数;

(2)增函数和减函数统称为单调函数,严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数.

(3)定理:设y=f(x),x∈D为严格增(减)函数,则,必有反函数f﹣1,且f﹣1在其定义域f(D)上也是严格增(减)函数.

3.奇函数和偶函数

设D为对称于原点的数集,f为定义在D上的函数,若对每一个x∈D有

f(﹣x)=﹣f(x)(f(﹣x)=f(x)),

则称f为D上的奇(偶)函数.

4.周期函数

设f为定义在数集D上的函数,若存在σ>0,使得对一切x∈D,x±σ∈D,有f(x±σ)=f(x),则称为周期函数,σ称为f的一个周期,显然,若σ为f的周期,则nσ(n为正整数)也是f的周期.若在周期函数f的所有周期中有一个最小的周期,则称此最小周期为f的基本周期,或简称周期.



第12章 数项级数

 

12.1 复习笔记

一、级数的收敛性

1.相关定义

(1)给定一个数列{un},对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

  u1+u2+…un+…       (12-1)

称为常数项无穷级数或数项级数(也常简称级数),其中un称为数项级数(12-1)的通项或一般项.

数项级数(12-1)也常写作HWOCRTEMP_ROC220或简单写作∑un.

(2)数项级数(12-1)的前n项之和,记为

  HWOCRTEMP_ROC240      (12-2)

称它为数项级数(12-1)的第n个部分和,也简称部分和.

(3)若数项级数(12-1)的部分和数列{Sn}收敛于S(即HWOCRTEMP_ROC250),则称数项级数(12-1)收敛,称S为数项级数(12-1)的和,记作

HWOCRTEMP_ROC260或S=∑un.

若{Sn}是发散数列,则称数项级数(12-1)发散.

2.重要定理

(1)级数收敛的柯西准则

级数(12-1)收敛的充要条件是:任给正数HWOCRTEMP_ROC3030,总存在正整数N,使得当m>N以及对任意的正整数p,都有

   HWOCRTEMP_ROC3040 (12-3)

由定理(1),立即可得如下推论,它是级数收敛的一个必要条件.

(2)若级数∑un与∑vn都收敛,则对任意常数c,d,级数∑(cun+dvn)亦收敛,且

HWOCRTEMP_ROC700

(3)去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.

(4)在收敛级数的项中任意加括号,既不改变级数的收敛性,也不改变它的和.

二、正项级数

1.正项级数收敛性的一般判别原则

(1)正项级数∑un收敛的充要条件是:部分和数列{Sn}有界,即存在某正数M,对一切正整数n有Sn<M.

(2)比较原则

设∑un和∑vn是两个正项级数,如果存在某正数N,对一切n>N都有

un≤vn  

①若级数∑vn收敛,则级数∑un也收敛;

②若级数∑un发散,则级数∑vn也发散.

(3)设

HWOCRTEMP_ROC1610 (12-4)

HWOCRTEMP_ROC1620 (12-5)

是两个正项级数.若

  HWOCRTEMP_ROC1630  (12-6)

①当0<l<+∞时,级数(12-4)、(12-5)同时收敛或同时发散;

②当l=0且级数(12-5)收敛时,级数(12-4)也收敛;

③当l=+∞且级数(12-5)发散时,级数(12-4)也发散.

2.比式判别法和根式判别法

(1)达朗贝尔列别法,或称比式判别法

设∑un为正项级数,且存在某正整N0及常数q(0<q<1).

①若对一切n>N0,成立不等式

HWOCRTEMP_ROC1790

则级数∑un收敛.

②若对一切n>N0,成立不等式

HWOCRTEMP_ROC1810

则级数∑un发散.

(2)比式判别法的极限形式

若∑un为正项级数,且

HWOCRTEMP_ROC1930

①当q<1时,级数∑un收敛;

②当q>1或q=+∞时,级数∑un发散.

(3)比式极限不存在时的判别法

设∑un为正项级数.

①若HWOCRTEMP_ROC2230,则级数收敛;

②若HWOCRTEMP_ROC2240,则级数发散.

(4)柯西判别法,或称根式判别法

设∑un为正项级数,且存在某正数N0及正常数l,

①若对一切n> N0,成立不等式

HWOCRTEMP_ROC2310

则级数∑un收敛;

②若对一切n>N0,成立不等式

HWOCRTEMP_ROC2330

则级数∑un发散.




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